Cinemática vetorial

Sejam S₁  e  S₂ as abscissas da partícula nos instantes  t₁ e t₂, respectivamente (com t₂ > t₁), e sejam S₁→ e S₂→ os vetores posição da partícula nos mesmos instantes. Na Cinemática escalar definimos a variação de abscissa ∆S por ∆S = S₂ – S₁. Na Cinemática vetorial definimos o vetor deslocamento (d→) da partícula entre os instantes t₁ e t₂ por

(Figura indisponível nesta versão da aula.)

Observação: Quando a trajetória é retilínea temos:

(Figura indisponível nesta versão da aula.)

O módulo da velocidade escalar média é maior ou igual ao módulo da velocidade vetorial média, num mesmo intervalo de tempo.

(Figura indisponível nesta versão da aula.)

VELOCIDADE VETORIAL MÉDIA

Na cinemática vetorial definimos como velocidade vetorial média por

(Figura indisponível nesta versão da aula.)

O vetor v_m→ possui a mesma direção e o mesmo sentido do vetor d→.

VELOCIDADE VETORIAL INSTANTÂNEA

A velocidade vetorial instantânea tem as seguintes características:

• Direção: mesma direção da reta tangente à trajetória no ponto considerado;
• Sentido: o mesmo do movimento;
• Módulo: igual ao módulo da velocidade escalar instantânea.

Observação:

Movimento retilíneo uniforme: Como a trajetória é retilínea, a velocidade vetorial terá sempre a mesma direção. Como o movimento é uniforme, a velocidade vetorial terá sempre o mesmo módulo e sentido. Podemos então dizer que, nesse caso, a velocidade vetorial é constante.

Movimento retilíneo uniformemente acelerado: Podemos então dizer que, nesse caso, a velocidade vetorial é constante. Como o movimento é acelerado, o módulo da velocidade vetorial aumenta sempre e o sentido se mantém constante

Movimento retilíneo uniformemente acelerado: Como a trajetória é retilínea, a direção da velocidade vetorial se mantém constante. Pelo fato de o movimento ser retardado, o módulo da velocidade vetorial diminui ao longo do tempo. Se a partícula chegar a inverter o sentido do movimento a velocidade vetorial terá o sentido invertido também.

ACELERAÇÃO VETORIAL MÉDIA

Consideremos uma partícula que tem velocidade vetorial v₁→ no instante t₁ e velocidade vetorial v₂→ no instante t₂ (com t₂ > t₁). A aceleração vetorial média da partícula (a_m→) entre os instantes  t₁ e t₂ é definida por:

(Figura indisponível nesta versão da aula.)

CELERAÇÃO VETORIAL INSTANTÂNEA

Em uma trajetória retilínea o vetor a→ tem a mesma direção da trajetória e módulo igual ao módulo da aceleração escalar:

(Figura indisponível nesta versão da aula.)

Se o movimento for acelerado, a→ terá o mesmo sentido da velocidade vetorial v→ e se o movimento for retardado, a→ terá sentido contrário ao de v→.

COMPOSIÇÃO DE MOVIMENTOS

Movimentos de mesma direção e mesmo sentido

amos supor que uma pessoa, de velocidade v_MV→ em relação e um vagão, de velocidade v_VS→ em relação ao solo, se movimentam no mesmo sentido.

Nesse caso ambas as velocidades v_MV→ e v_VS→ tem mesma direção e sentido.

Sendo v_R→ a velocidade resultante, ou seja, a velocidade entre a pessoa e o solo, teremos

(Figura indisponível nesta versão da aula.)

Movimentos de mesma direção e sentidos opostos

Sendo v_R→ a velocidade resultante, ou seja, a velocidade entre a pessoa e o solo, teremos

(Figura indisponível nesta versão da aula.)

Exercício Resolvido 2: As águas de um rio retilíneo movimentam-se com velocidade 3,0 m/s em relação às margens. Sobre o rio há duas pontes distanciadas 80 m uma da outra. Um barco, cuja velocidade em relação à água é 5,0 m/s, parte de um ponto situado abaixo de uma das pontes, sobe o rio até a outra ponte e volta para a primeira ponte.

a) Calcule o intervalo de tempo no qual o barco sobe o rio, de uma ponte à outra.

b) Calcule o intervalo de tempo no qual o barco desce o rio, de uma ponte à outra.

c) Qual o intervalo de tempo total de ida e volta? (Despreze o intervalo de tempo gasto pelo barco para virar.)

d) Se o rio estivesse parado em relação às margens, qual seria o intervalo de tempo total de ida e volta?

Resolução:

a) Consideremos as seguintes velocidades:

(Figura indisponível nesta versão da aula.)

“Subir o rio” significa “ir contra a correnteza”, isto é, v_BA→ e v_AM→ têm sentidos opostos.  

De acordo com o enunciado, temos:|→v

(Figura indisponível nesta versão da aula.)

Assim: 

(Figura indisponível nesta versão da aula.)

Para um referencial fixo nas margens, a distância percorrida pelo barco, para ir de uma ponte à outra, é ∆S = 80 m.

Portanto: 

(Figura indisponível nesta versão da aula.)

b) “Descer o rio” significa “ir a favor da correnteza”, isto é, v_BA→ e v_AM→ têm o mesmo sentido.  

Nesse caso temos:

(Figura indisponível nesta versão da aula.)

Portanto: 

(Figura indisponível nesta versão da aula.)

c) O intervalo de tempo total é obtido adicionando-se o intervalo de tempo de ida ao de volta.  

Δt = Δt₁ + Δt₂ = 40 + 10 = 50 s

d) Se o rio estivesse parado em relação às margens, os intervalos de tempo de ida e volta seriam iguais e teríamos:

(Figura indisponível nesta versão da aula.)

Representando por ∆t’ o intervalo de tempo de ida, teríamos:

(Figura indisponível nesta versão da aula.)

Portanto, sendo ∆t’’ o intervalo de tempo de ida e volta:

(Figura indisponível nesta versão da aula.)

Movimentos de quaisquer direções

O movimento de um ponto material P em relação a um referencial A ou a um referencial B é dado pela soma vetorial dos vetores.

Exercício Resolvido 3: As águas de um rio correm com velocidade v₀→ em relação às margens, sendo |v₀→| = 6,0 m/s. As margens do rio são paralelas e separadas por uma distância de 24 m. Uma lancha sai de uma das margens em direção à outra, com velocidade v₁→ em relação à água, de modo que seu eixo fique perpendicular à correnteza. Sabendo que |v₁→ |1 = 8,0 m/s, calcule:

a) o módulo da velocidade da lancha em relação às margens;

b) o intervalo de tempo de travessia;

c) o deslocamento rio abaixo;

d) o deslocamento em relação às margens.

Resolução:

a) Consideremos as seguintes velocidades:

(Figura indisponível nesta versão da aula.)

De acordo com o enunciado, temos: 

(Figura indisponível nesta versão da aula.)

Devemos ter: 

(Figura indisponível nesta versão da aula.)

Usando o Teorema de Pitágoras:

(Figura indisponível nesta versão da aula.)

Portanto: 

(Figura indisponível nesta versão da aula.)

b) O movimento da correnteza não interfere no intervalo de tempo da travessia. Podemos fazer o cálculo como se o rio estivesse parado:

(Figura indisponível nesta versão da aula.)

c) Ao sair do ponto A em uma das margens (veja a figura), o eixo da lancha aponta para o ponto B da margem oposta. Mas, devido ao movimento da água, a lancha é arrastada lateralmente, indo atingir a margem oposta no ponto C. O deslocamento rio abaixo (d) pode ser calculado, então, usando-se a velocidade da água em relação às margens:

(Figura indisponível nesta versão da aula.)

d) Para um observador fixo na margem, a trajetória do barco é o segmento de reta AC¯, cujo comprimento pode ser calculado aplicando-se o Teorema de Pitágoras ao triângulo ABC:  

(AC)² = (AB)² + (BC)² = (24)² + (18)² ⇒ AC = 30 m

Um outro modo de calcular AC¯ é usar o tempo de travessia e a velocidade V_LM→:

(Figura indisponível nesta versão da aula.)

É interessante observar que o tempo de travessia pode ser calculado usando-se qualquer uma das três velocidades mencionadas:

(Figura indisponível nesta versão da aula.)