PROVA ESA 2020/2021 RESOLVIDA – MATEMÁTICA

Abaixo teremos a prova da ESA 2021 resolvida. A prova foi aplicada no dia 04 de outubro de 2020 (04/10/2020).

Antes de termos a resolução  da prova da área geral/aviação vamos ver os assuntos cobrados em cada questão.

QUESTÃO 1 – Logarítmo

QUESTÃO 2 – Conjuntos e probabilidade

QUESTÃO 3 – Sequências: progressão aritmética (P.A.) e progressão geométrica (P.G.)

QUESTÃO 4 – Escala/semelhança de figuras

QUESTÃO 5 – Inequação modular

QUESTÃO 6 – Equação exponencial

QUESTÃO 7 – Esfera

QUESTÃO 8 – Lei dos senos

QUESTÃO 9 – Função quadrática

QUESTÃO 10 – Polinômios

QUESTÃO 11 – Geometria analítica

QUESTÃO 12 – Função exponencial

Confira abaixo como foi o aulão de véspera do ProMilitares (hoje EuMilitar) para a prova da ESA onde foram abordados os assuntos mais cobrados no concurso da ESA.

Vamos a resolução da prova da ESA 2020/2021.

QUESTÃO 1

Mudando para a base 3 o log_{5}\, 7 , obtemos:

(A)  log_{3}\, 7/log_{3}\, 5 .

(B) log_{7}\, 3/log_{5}\, 3 .

(C) log_{3}\, 5 .

(D) log_{3}\, 7 .

(E) log_{5}\, 3/log_{7}\, 3 .

RESOLUÇÃO

Primeiramente vamos relembrar a propriedade de mudança de base dos logarítmos.

log_{b}\, a=\frac{log_{c}\, a}{log_{c}\, b}

Dessa forma podemos passar log_{5}\, 7 para a base 3 da seguinte forma:

log_{5}\, 7=\frac{log_{3}\, 7}{log_{3}\, 5}

Fazendo com que a nossa resposta correta seja a opção A

Quer saber mais sobre logarítmos? Acesse aqui e veja todas as propriedades relativas aos logarítimos

OPÇÃO A

QUESTÃO 2

Numa enquete foram entrevistadas 80 pessoas sobre os meios de transporte que utilizavam para vir ao trabalho e/ou à escola. Quarenta e dois responderam ônibus, 28 responderam carro e 30 responderam moto. Doze utilizam-se de ônibus e carro, 14 de carro e moto e 18 de ônibus e moto. Cinco utilizam-se dos três: carro, ônibus e moto. Qual é a probabilidade de que uma dessas pessoas, selecionada ao acaso, utilize somente carro?

(A) 8,75%

(B) 23,75%

(C) 21,25%

(D) 35%

(E) 33,75%

RESOLUÇÃO

Primeiramente teremos que montar um diagrama de Venn para os conjuntos para encontrar o número de pessoas que utilizam somente carro.

Nesse tipo de questão nós sempre devemos começar pela intersecção de mais conjuntos, ou seja pela intersecção dos 3 conjuntos ao mesmo tempo, que no caso é a quantidade de 5 pessoas informadas no enunciado.

Agora iremos preenchendo as quantidades de pessoas que utilizam ônibus e carro, ônibus e moto e carro e moto sendo que já descontando as 5 pessoas que já utilizam os três meios de transporte ao mesmo tempo.

Repetindo o processo para aqueles que usam ônibus, carro ou moto.

Se somarmos todas as quantidades teremos 17 + 3 + 7 + 7 + 13 + 9 + 5 = 61. Com isso vemos que dentre os entrevistados ainda temos 19 (80-61) que não andam nem de ônibus ou carro ou moto

Sendo assim temos apenas 7 pessoas que andam SOMENTE de carro (destacado na figura abaixo).

E dessa forma a probabilidade pedida na questão pode ser calculada por P=\frac{7}{80}=0,0875=8,75% .

Quer saber mais sobre probabilidade? Acesse aqui e descubra como pode cair numa próxima questão da prova da ESA.

OPÇÃO A

QUESTÃO 3

Se (40, x, y, 5, …) é uma progressão geométrica de razão q e (q, 8 – a, 7/2, …) é uma progressão aritmética, determine o valor de a. (A) 8

(B) 25/4

(C) 23/4

(D) 6

(E) 7

RESOLUÇÃO

Se (40, x, y, 5, …) é uma progressão geométrica (P.G.) temos então que são válidas as relações:

\frac{y}{x}=\frac{x}{40}\Rightarrow x^{2}=40y\Rightarrow y=\frac{x^{2}}{40} \frac{5}{y}=\frac{y}{x}\Rightarrow y^{2}=5x

Da primeira equação substituindo na segunda teremos:

\left ( \frac{x^{2}}{40} \right )^{2}=5x\Rightarrow \frac{x^{4}}{1600}=5x\Rightarrow x^{3}=1600.5\Rightarrow x^{3}=8000\Rightarrow x=\sqrt[3]{8000}=20 .

Sabendo que x = 20 sabemos que a progressão geométrica é (40, 20, y, 5, …) fazendo com que a razão da P.G. seja q=\frac{1}{2}  e a progressão geométrica seja (40, 20, 10, 5, …).

Nota: a razão q=\frac{1}{2}  também era simples de ser encontrada por tentativa e erro.

Agora substituindo q=\frac{1}{2} na progressão aritmética (q, 8 – a, 7/2, …) teremos (1/2, 8 – a, 7/2, …) e assim é válida a relação:

\frac{7}{2}-\left ( 8-a \right )=8-a-\frac{1}{2}\Rightarrow -8+a=8-a-\frac{1}{2}-\frac{7}{2}\Rightarrow 2a=8+8-\frac{8}{2}\Rightarrow 2a=12\Rightarrow a=6

Dessa forma temos a opção D como nossa resposta correta.

Quer aprender tudo de progressão aritmética? Então clique aqui pois progressão aritmética (P.A.) é o tema mais cobrado no concurso da ESA.

OPÇÃO D

QUESTÃO 4

Determine a distância real, em quilômetros, entre duas cidades que se encontram a 18 mm de distância em um mapa cuja escala é 1 : 5.000.000.

(A) 0,9

(B) 900

(C) 9000

(D) 9

(E) 90

RESOLUÇÃO

A relação de escalas se dá da mesma forma que uma relação de semelhança entre figuras semelhantes. Se as cidades no mapa se encontram entre si a 18 mm de distância na escala real elas se encontrarão com uma distância 5.000.000 vezes maior, pois uma escala 1 : 5.000.000 indica que cada medida real foi dividida por 5.000.000.

Repare que para passarmos de milímetro (mm) para metro (m) é necessário multiplicar por 1000 e que para passamos de metro (m) para quilômetro (km) é necessário também multiplicar por 1000.

Dessa forma 18\ mm \ \times \ 5000000\ =\ 90.000.000\ mm=\ 90\ km

OPÇÃO E

Antes de continuarmos com o restante da resolução da prova da ESA assista como foi o gabarito de todas as disciplinas feito pelo ProMilitares (hoje EuMilitar). O gabarito da prova da ESA feito pelo ProMilitares foi realizado ao vivo no youtube e de forma gratuita no mesmo dia da prova, logo após o seu término.

Vamos continuar a nossa resolução da prova da ESA 2020/2021

QUESTÃO 5

A solução da inequação |3x -10| ≤ 2x é dada por:

(A) S = Ø

(B) S ={x  \epsilon \ R| x ≥ 2}

(C) S ={x  \epsilon \ R| x ≤ 2 \ ou  x ≥ 10}

(D) S ={x  \epsilon \ R| x ≤ 10}

(E) S ={x  \epsilon \ R| 2≤ \ x  ≤ 10}

RESOLUÇÃO

Podemos entender a definição de módulo como a distância de um número a origem da reta real (0).

Pensado dessa forma sempre temos 2 números que estão a mesma distância da origem (0) o k e o -k .

Então quando nos é perguntado |3x -10| ≤ 2x   temos que pensar que queremos os valores que tem uma distância em relação a origem menor ou igual a distância que o 2x   tem.

De maneira geral |x|\leq k\Rightarrow -k\leq x\leq k . Quando vemos isso na reta real vemos que nos interessa o intervalo em vermelho.

Assim temos que |3x -10| ≤ 2x \Rightarrow -2x\leq 3x-10\leq 2x\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3x-10\leq 2x\\ 3x-10\geq -2x \end{matrix}\right.

3x-10 \leq 2x \Rightarrow 3x-2x \leq 10 \Rightarrow x \leq 10 3x-10 \geq -2x \Rightarrow 3x+2x \geq 10 \Rightarrow 5x \geq 10\Rightarrow x \geq 2

x\geq 2 e x\leq 10 \Rightarrow 2\leq x \geq 10

Quer saber mais sobre equações e inequações modulares? Clique caí e esteja preparado para esse assunto na prova da ESA.

OPÇÃO E

QUESTÃO 6

A soma dos possíveis valores de x na equação 4^{x}=6.4^{x}-8 , é:

(A) 7

(B) 6

(C) 0

(D) 3

(E) 2

RESOLUÇÃO

Temos uma equação exponencial clássica, assim primeiramente vamos utilizar as propriedades

\Rightarrow \left ( 2^{2} \right )^{x}-6.2^{x}+8=0 \Rightarrow \left ( 2^{x} \right )^{2}-6.2^{x}+8=0

vamos fazer a substituição y=2ˆ{x} e assim teremos a equação do segundo grau:

y^{2}-6.y+8=0\Rightarrow y=\frac{-(-6)\pm \sqrt{(-6))^{2}-4.1.8})}{2.1}= \frac{6\pm \sqrt{36-32})}{2}

y= \frac{6\pm \sqrt{4})}{2}= \frac{6\pm 2}{2}\Rightarrow y=\frac{6+2}{2}=4 ou   y=\frac{6-2}{2}=2

Agora devemos voltar em y=2^{x} e assim 2^{x}=4 \Rightarrow 2^{x}= 2^{2}\Rightarrow x=2 ou 2^{x}=2 \Rightarrow 2^{x}= 2^{1} \Rightarrow x=1.

Assim a soma das nossas raízes é 1 + 2 = 3.

OPÇÃO D

QUESTÃO 7

A área da superfície de uma esfera é 144π cm^{2} . O volume da esfera é igual a:

(A) 72π cm^{3}

(B) 162π cm^{3}

(C) 216π cm^{3}

(D) 288π cm^{3}

(E) 2304π cm^{3}

RESOLUÇÃO

Aqui temos um assunto clássico da geometria espacial, o estudo da esfera. Temos as 2 principais fórmulas relacionadas a uma esfera nessa questão da prova da ESA. A área da superfície da esfera S=4\pi r^{2} e temos também o volume da esfera V=\frac{4\pi r^{3}}{3}. Sendo assim vamos utilizar a área da superfície que nos foi dada S=144π e descobrir o raio da esfera.

S=144π\Rightarrow 4\pi r^{2}=144\pi \Rightarrow r^{2}=\frac{144}{4}=36 \Rightarrow r=\sqrt{36}=6

Sendo assim vamos utilizar agora r=6 na fórmula do volume da esfera V=\frac{4\pi r^{3}}{3}.

V=\frac{4\pi r^{3}}{3}=\frac{4\pi 6^{3}}{3}=\frac{4\pi 36.6}{3}=4.36.2\pi=8.36\pi=288\pi

Assim nosso volume da esfera é igual a 288\pi

OPÇÃO D

QUESTÃO 8

A água utilizada em uma residência é captada do rio para uma caixa d’água localizada a 60m de distância da bomba. Os ângulos formados pelas direções bomba – caixa d’água – residência é de 60° – bomba – caixa d’água é de 75°, conforme mostra a figura abaixo. Para bombear água do mesmo ponto de captação, diretamente para a residência, quantos metros de tubulação são necessários? Use \sqrt{6} = 2,4.

(A) 72 metros

(B) 12,5 metros

(C) 28 metros

(D) 35,29 metros

(E) 21,25 metros

RESOLUÇÃO

Nessa questão vamos chamar o vértice do triângulo onde se encontra a residência de A, o vértice do triângulo onde se encontra a bomba de B e o vértice do triângulo onde se encontra a caixa d’água de C e pela soma dos ângulos internos do triângulo teremos.

\hat{A}+75^{\circ}+60^{\circ}=180^{\circ} \Rightarrow \hat{A}=180^{\circ}-135^{\circ} \Rightarrow \hat{A}=45^{\circ}

Sendo \hat{A}=45^{\circ} aplicaremos a Lei dos senos no triângulo ABC.

\frac{x}{sen\, 60^{\circ}}=\frac{60}{sen\, 45^{\circ}}\Rightarrow \frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{60}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \Rightarrow x\sqrt{2}=60\sqrt{3} \Rightarrow x=\frac{60\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\Rightarrow

x=\frac{60\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{60\sqrt{6}}{2}=30\sqrt{6}

Como a questão manda utilizar \sqrt{6} = 2,4 teremos x=30\sqrt{6}=30.2,4=72.

OPÇÃO A

QUESTÃO 9

O lucro de uma empresa é dado por uma lei L(x) = -xˆ{2} + 8x – 7, que x é a quantidade vendida (em milhares de unidades e L é o lucro (em Reais). Qual o valor do lucro máximo em reais?

(A) 9000

(B) 7000

(C) 6000

(D) 8000

(E) 10000

RESOLUÇÃO

Esta questão foi anulada no gabarito oficial do concurso da ESA 2020/2021 por um pequeno detalhe. No enunciado a banca deveria ter cobrado o valor do lucro máximo em MILHARES de reais. Vamos ver como seria a resolução dessa questão se fosse cobrada de maneira correta.

Para encontrarmos o lucro máximo devemos calcular o y   do vértice dessa função uma vez que L(x)=y   e a fórmula das coordenadas do vértice de uma parábola V\left ( x_{v},\, y_{v} \right) onde x_{v}=-\frac{b}{2a} e y_{v}=-\frac{\Delta}{4a} .

Sendo assim devemos calcular y_{v}=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{8^{2}-4.(-1).(-7))}{4(-1))}=\frac{64-28}{4}=\frac{36}{4}=9 .

Assim, se a questão cobrasse em milhares de reais teríamos 9.000 reais.

ANULADA NO GABARITO OFICIAL

QUESTÃO 10

Dado o polinômio p(x)=4x^{4}+3x^{5}-5x+x^{2}+2 . Analise as informações a seguir:

I. O grau de p(x) é 5.

II. O coeficiente de x^{3} é 0.

III. O valor numérico de p(x) para x = -1 e 9.

IV. Um polinômio q(x) é igual a q(x) se, e somente se, possui mesmo grau de p(x) e os coeficientes são iguais.

É correto o que se afirma em:

(A) I, II e III apenas

(B) II, III e IV apenas

(C) I, II, III e IV

(D) I e II apenas

(E) III e IV apenas

RESOLUÇÃO

Vamos analisar as afirmativas

I. VERDADEIRA

O grau de p(x) é igual a 5 e é dado pelo monômio 3x^{5} .

II. VERDADEIRA

O polinômio p(x) não possui o termo do terceiro grau x^{3} e assim o temos 0x^{3}

III. VERDADEIRA

p(-1)=4(-1)^{4}+3(-1)^{5}-5(-1)+(-1)^{2}+2 =4.1+3(-1)+5+1+2=4-3+8=9

IV. FALSA

Dois polinômios são iguais somente se possuem os coeficientes DOS MONÔMIOS DE MESMO GRAU IGUAIS.

OPÇÃO A

QUESTÃO 11

Um ponto P, de um sistema de coordenadas cartesianas, pertence a reta da equação y = x – 2 . Sabe-se o ponto P é equidistante do eixo das ordenadas e do ponto Q (16, 0). Dessa maneira, um possível valor as coordenadas do ponto P é:

(A) P (9, 7)

(B) P (8, 10)

(C) P (12, 10)

(D) P (7, 9)

(E) P (10, 8)

RESOLUÇÃO

Vamos lá resolver essa questão de geometria analítica, um assunto também muito cobrado na prova da ESA.

Se o ponto P pertence a reta y = x – 2 então P é da forma P(x, y)=(x, x – 2) .

Se P é equidistante do eixo das ordenadas e do ponto Q (16, 0) quer dizer que P está a mesma distância do eixo y e do ponto Q.

A distância de qualquer ponto ao eixo y é dada pela coordenada de x   desse ponto, veja na figura abaixo.

Dessa forma a distância do ponto P ao eixo y é dada por x .

Vamos encontrar a distância do ponto P ao ponto Q.

d_{p,\, q}=\sqrt{(x-16)^{2}+(x-2-0)^{2}}=\sqrt{(x-16)^{2}+(x-2)^{2}}

Como a distância de P ao eixo y é x temos

d_{p,\, q}=x\Rightarrow \sqrt{(x-16)^{2}+(x-2)^{2}}=x \Rightarrow (x-16)^{2}+(x-2)^{2}=(x)^{2}\Rightarrow 

x^{2}-32x+256+x^{2}-4x+4=x^{2}\Rightarrow x^{2}-36x+260=0

Resolvendo a equação do segundo grau por soma e produto teremos S=-\frac{-36}{1}=36 e P=\frac{260}{1}=260 onde nossas raízes serão x=26 ou x=10 .

Substituindo no ponto P(x, y)=(10, 10 – 2)=(10, 8) 

OPÇÃO E

QUESTÃO 12

A função n(t)=1000.2^{0,2t} indica o número de bactérias existentes em um recipiente, em que t é o número de horas decorridas. Em quantas horas, após o início do experimento, haverá 16000 bactérias?

(A) 10

(B) 50

(C) 15

(D) 30

(E) 20

RESOLUÇÃO

Vamos encontrar o valor de t na função exponencial n(t)=1000.2^{0,2t} fazendo n(t)=16000

n(t)=16000\Rightarrow 1000.2^{0,2t}=16000 \Rightarrow 2^{0,2t}=16 \Rightarrow 2^{0,2t}=2^{4} \Rightarrow 0,2t=4 \Rightarrow

t=\frac{4}{0,2}=\frac{40}{2}=20

Assim teremos t=20 .

OPÇÃO E

Quer se dar bem na prova da ESA 2021/2022 e ingressar no CFGS 2022-23? Assista ao Aulão de véspera do ProMilitares (hoje EuMilitar) e fique por dentro de todos os assuntos mais cobrados na prova da ESA.