Congruência e pontos notáveis

CRITÉRIOS DE CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS
CRITÉRIO LADO-ÂNGULO-LADO (L.A.L.)

Se dois lados de um triângulo e o ângulo por eles formado forem congruentes a dois lados de outro triângulo e ao ângulo por eles formados, respectivamente, então esses dois triângulos são congruentes (postulado).

CRITÉRIO ÂNGULO-LADO-ÂNGULO (A.L.A.)

Se um dos lados de um triângulo e os ângulos adjacentes a esse lado forem congruentes a um dos lados de outro triângulo e aos ângulos adjacentes a esse lado, respectivamente, então esses dois triângulos são congruentes (teorema).

TEOREMA DO TRIÂNGULO ISÓSCELES

(Volta) Supondo que B C ˆ = ˆ e associando o ∆ABC a ele mesmo, somente com a mudança da ordem dos vértices, temos:

Corolário: um triângulo é equilátero (isto é, com todos os lados congruentes) se, e somente se, for equiângulo (isto é, seus ângulos são todos congruentes). Portanto, um triângulo equilátero possui três ângulos iguais a 60°.

CRITÉRIO LADO-LADO-LADO (L.L.L.)

Se os três lados de um triângulo forem respectivamente congruentes aos três lados de outro triângulo, então esses dois triângulos serão congruentes (teorema).

Vamos analisar o caso representado na primeira gura. Os outros dois casos podem ser abordados de forma análoga.

CRITÉRIO ESPECIAL DE CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS RETÂNGULOS

Se dois triângulos retângulos têm um cateto e a hipotenusa, respectivamente, congruentes, então esses dois triângulos são congruentes.

LUGAR GEOMÉTRICO

Um lugar geométrico (L.G.) é o conjunto de todos os pontos que possuem uma determinada propriedade.
Assim, se o conjunto L é o lugar geométrico dos pontos que possuem uma propriedade p, então:

1°. Se o ponto A ∈ L, então A possui a propriedade p; e 2°. Se o ponto A possui a propriedade p, então A ∈ L.
Por exemplo, uma circunferência de centro em um ponto O e raio r é o lugar geométrico dos pontos do plano que estão a uma distância constante e igual a r do ponto O.

MEDIATRIZES

A mediatriz de um segmento é a reta perpendicular ao segmento pelo seu ponto médio.

POSIÇÕES DO CIRCUNCENTRO EM RELAÇÃO AO TRIÂNGULO

O circuncentro é interior ao triângulo, se o triângulo for acutângulo.

Assim como as três bissetrizes internas, as três bissetrizes externas também equidistam dos lados do triângulo.
Cada bissetriz externa é perpendicular à bissetriz interna do mesmo vértice.

As três bissetrizes externas intersectam-se duas a duas determinando três pontos denominados ex-incentros.

A bissetriz interna oposta a um lado passa pelo ex-incentro determinado pelas bissetrizes externas dos ângulos adjacentes a esse lado. Note que as demonstrações das propriedades das bissetrizes externas e dos ex-incentros são análogas às das bissetrizes internas e do incentro, pois correspondem aos mesmos lugares geométricos.

ALTURAS

Uma altura de um triângulo é um segmento de reta perpendicular à reta suporte de um lado do triângulo e com extremidades nesta reta e no vértice oposto ao lado considerado.

TRIÂNGULO ÓRTICO

O triângulo órtico é o triângulo formado pelos pés das alturas de um triângulo.

MEDIANAS, BASES MÉDIAS E BARICENTRO

BASE MÉDIA DE UM TRIÂNGULO

Se um segmento tem extremidades nos pontos médios de dois lados de um triângulo, então ele é paralelo ao terceiro lado e é igual à metade do terceiro lado. Esse segmento é denominado base média do triângulo, relativa ao terceiro lado.

MEDIANAS E BARICENTRO

Uma mediana de um triângulo é um segmento com extremidades em um dos vértices e no ponto médio do lado oposto.

DISTÂNCIA DO CIRCUNCENTRO AO BARICENTRO