Equações com igualdade de linhas Trigonométricas

Observe que dois arcos que possuem o mesmo seno ou são côngruos (α – β = 2kπ, k ∈ ℤ) ou suas imagens são simétricas em relação ao eixo Oy.

No segundo caso, os ângulos seriam dados, sem perda de generalidade, por α = θ + 2k₁π, k₁ ∈ ℤ e β = (π – θ) + 2k₂π, k₂ ∈ ℤ, o que implica α + β = π + 2(k₁ + k₂)π = π + 2kπ, k ∈ ℤ.

Outra maneira de resolver essa equação é usando as fórmulas de Werner:

Notação resumida: α = kπ + (-1)^k · β, k ∈ ℤ 

Exemplo:

EQUAÇÃO COM IGUALDADE DE COSSENOS

cosα = cosβ ⇔ α ± β = 2kπ, k ∈ ℤ

Observe que dois arcos que possuem o mesmo cosseno ou são côngruos (α – β = 2kπ, k ∈ ℤ) ou suas imagens são simétricas em relação ao eixo Ox.

No segundo caso, os ângulos seriam dados, sem perda de generalidade, por α = θ + 2k₁π, k₁ ∈ ℤ e β = -θ + 2k₂π, k₂ ∈ ℤ, o que implica α + β = 2(k₁ + k₂)π = 2kπ, k ∈ ℤ.

A notação α ± β = 2kπ, k ∈ ℤ representa a união das soluções de ambos os casos.

Outra maneira de resolver essa equação é usando as fórmulas de Werner:

Exemplo: 

Exemplo:

O conjunto das soluções da equação sen 5x = cos3x contém o seguinte conjunto:

a) {^π/₁₆ + k ^π/₅, k ∈ ℤ}
b) {^π/₁₆ + k ^π/₃, k ∈ ℤ
c) {^π/₄ + k ^π/₃, k ∈ ℤ}
d) {^π/₄ + k ^π/₂, k ∈ ℤ}
e) {^π/₄ + 2kπ, k ∈ ℤ}

Resolução: E

EQUAÇÃO COM IGUALDADE DE TANGENTES

tg α = tg β ⇔ α – β =kπ, k ∈ ℤ

Observe que dois arcos que possuem o mesmo cosseno ou são côngruos (α – β = 2kπ, k ∈ ℤ) ou suas imagens são simétricas em relação à origem dos eixos ordenados.

No segundo caso, os ângulos seriam dados, sem perda de generalidade, por α=(π + θ) +2k₁π, k₁ ∈ ℤ e β = θ + 2k₂π, k₂ ∈ ℤ, 0 que implica α – β = π+2(k₁ – k₂)π = π+2kπ, k ∈ ℤ.

A notação α – β = kπ, k ∈ ℤ representa a união das soluções de ambos os casos.

Outra maneira de resolver essa equação é usando as fórmulas de Werner:

tg α = tg β ⇔ tg α – tg β = 0 ⇔ ^sen(α-β)/_cosα·cosβ =0 ⇔ sen (α – β) =0 ⇔
α – β = kπ, k ∈ ℤ

Exemplo: 

tg (4x – ^π/₄) = tg 2x ⇔ (4x – ^π/₄) – 2x = kπ, k ∈ ℤ ⇔ x = ^π/₈ + ^kπ/₂, k ∈ ℤ