Fórmulas de adição, arcos duplos, arco metade e transformação em produto

Demonstração:

Sejam Q, R e S a imagem no ciclo trigonométrico de arcos com primeira determinação positiva α,(α + β) e (-β), respectivamente. Logo, AR^⏜ = QS^⏜, o que implica AR¯ = QS¯.

As coordenadas desses pontos são dadas por: Q = (cos α, sen α), R(cos(α + β), sen(α + β)) e S =(cos(-β), sen(-β)) = (cosβ,-senβ).

Aplicando a fórmula de distância entre pontos, temos:

As fórmulas a seguir permitem o cálculo da tangente da soma e da diferença de arcos, com α, β, α + β, α – β ≠ ^π/₂ + kπ, k ∈ ℤ.

Demonstração:

Exemplo: calcule o seno, o cosseno e a tangente de 15°.

Resolução: 

Demonstração

FÓRMULAS DE ARCO DOBRO E TRIPLO

As fórmulas a seguir permitem calcular o seno, o cosseno e a tangente do dobro de um arco.

Demonstração:

sen 2 α = sen(α + α)=

=sen α cos α + sen α cos α =2 sen α cos α cos 2 α = cos(α + α) = cos α cos α – sen α sen α=

=cos² α – sen² α = cos² α = cos² α – sen² α=

=cos²α – (1 – cos² α) = 2 cos²α – 1 = cos 2α =

=cos²α – sen²α = (1 – sen²α) – sen²α = 1 – 2 sen² α

Note que a fórmula de tg 2 α só é válida se 2 α ≠ ^π/₂ + kπ, k ∈ ℤ.

As fórmulas a seguir permitem calcular o seno, o cosseno e a tangente do triplo de um arco.

Demonstração:

Demonstração:

sen 3α = sen (2α + α) = sen 2α cos α + sen α cos 2α =

=2sen α cos α · cos α + senα · (1 – 2sen² α)=

=2sen α(1 – sen² α) + sen α – 2sen³ α=

= 3sen α – 4 sen³ α

cos 3α = cos(2α + α) = cos 2α cos α – sen 2α sen α=

=(2cos²α – 1) · cos α – 2sen α cos α · sen α=

=2cos³ α – cos α – 2cos α(1 – cos²α)=

=4cos³ α – 3cos α

FÓRMULAS DE ARCO METADE 

As seguintes fórmulas permitem calcular o seno, o cosseno e a tangente da metade de um arco, a menos do sinal.

Demonstração:

Exemplo: calcule o seno, o cosseno e a tangente de ^π/₈.

Resolução: como ^π/₈ ∈ Q_I, então todas as suas linhas trigonométricas são positivas.

FÓRMULAS DE DUPLICAÇÃO USANDO TANGENTE 

As seguintes fórmulas permitem calcular o seno e o cosseno de um arco conhecendo-se a tangente do seu arco metade.

Demonstração:

A fórmula seguinte permite calcular a tangente da metade de um ângulo conhecendo-se o seno e o cosseno do ângulo. 

Demonstração:

Essa relação pode ser facilmente identificada no ciclo trigonométrico para ângulos agudos. Basta fazer AÔP = x, o que implica AÂ’P = ^x/₂ (ângulo inscrito) e podemos calcular a tg ^x/₂ dividindo o cateto oposto sen x pelo cateto adjacente 1 + cos x.

FÓRMULAS DE PROSTAFÉRESE OU DE WERNER

As fórmulas de Prostaférese ou de Werner permitem transformar somas ou diferenças de senos, cossenos e tangentes em produtos ou vice-versa.

As fórmulas a seguir permitem transformar somas e diferenças em produtos.

Demonstração:

As fórmulas a seguir permitem transformar produtos em soma.

Demonstração: