Geometria Plana: Definição de Polígonos e ângulos

Os pontos A₁,A₂,A₃,…,A_n são os vértices do polígono; os segmentos  A̲_1̲A̲_2̲, A̲2̲A̲3̲, …, A̲_n−1A̲_n, A̲_n1A̲_n são os seus lados; e os ângulos Â₁ = A_nÂ₁A₂, Â₂ = A₁Â₂A₃,…, Â_n = A_n−1Â_nA₁ são os ângulos internos do polígono.

Um polígono de n vértices possui também n lados e n ângulos, e diz-se de gênero n.

Um polígono é simples se, e somente se, a interseção de quaisquer dois lados não consecutivos é vazia.

Um polígono simples é convexo se, e somente se, a reta determinada por quaisquer dois de seus vértices consecutivos deixa todos os outros vértices no mesmo semiplano.

Um polígono que possui todos os lados congruentes é dito equilátero. Um polígono que possui todos os ângulos congruentes é dito equiângulo. Um polígono é dito regular se é equilátero e equiângulo.

O desenvolvimento a seguir refere-se a polígonos simples que possuem todos os vértices no mesmo plano.

ÂNGULOS INTERNOS

A soma dos ângulos internos de um polígono de gênero n é:

S_i = 180°(n−2)

Demonstração:

Ligando-se um dos vértices de um polígono gênero n aos (n−3) vértices não adjacentes a ele, o polígono fica dividido em (n−2) triângulos. A soma dos ângulos internos desses (n−2) triângulos é igual à soma dos ângulos internos do polígono. Assim, a soma dos ângulos internos do polígono é S_i = 180°(n−2).

ÂNGULOS EXTERNOS

Ângulo externo de um polígono é o ângulo suplementar adjacente do ângulo interno do polígono.

A soma dos ângulos externos de um polígono de gênero n é:

S_e = 360°

Demonstração:

Há n pares de ângulos internos e externos, e cada par soma 180º. Assim, a soma de todos os ângulos internos e externos do polígono é 180º·n. Portanto,

S_i + S_e = 180°⋅n ⇔ 180e(n−2) + S_e = 180°n ⇔ S_e = 360°

Observe que a soma dos ângulos externos de um polígono é constante e não depende de seu gênero.