Geometria Plana: Potência de ponto

P exterior ao círculo ⇒ d > R ⇒ Pot(_O) P > 0
P pertence ao círculo ⇒ d = R ⇒ Pot(₀) P = 0
P interior ao círculo ⇒ d < R ⇒ Pot(₀) P < 0

Se um ponto está sobre uma circunferência, então a sua potência em relação à essa circunferência é nula.

Observe nas figuras a seguir que, pelo teorema de Pitágoras, temos PT² = |d² − R²| = |Pot(_O)P|.

Exemplo:

Considerando o círculo da figura de centro O, calcule Pot(_O) A + Pot(_O) B + Pot(_O) C.

Resolução:

Pot(_O)A = OA² − R² = 3² − 5²= 9 − 25 = −16
Pot(_O)B = OB² − R² = 5² − 5² = 0
Pot(_O)C = OC² − R² = 7² − 52 = 49 − 25 = 24
Pot(₀)A + Pot(₀)B + Pot(₀)C = − 16 + 0 + 24 = 8

POTÊNCIA DE PONTO EXTERIOR

Se por um ponto P exterior a uma circunferência são traçadas duas secantes P̲A̲B̲ e P̲C̲D̲ a essa circunferência, então PA · PB = PC · PD.

Exemplo:

Calcule x na figura a seguir:

Resolução:

PA ⋅ PB = PC ⋅ PD ⇔ 2 ⋅ 5 = 3 ⋅ (3 + x) ⇔ x = ¹⁰/₃ − 3 = ¹/₃

Se por um ponto P exterior a uma circunferência são traçadas uma secante P̲A̲B̲ e uma tangente P̲T̲ a essa circunferência, então PT² = PA ⋅ PB.

Exemplo:

Calcule x na figura a seguir:

Resolução:

Sabe-se que PC² = PA ⋅ PB ⇔ x² = 2 ⋅ 5 ⇔ x = √10.

Se por um ponto P exterior a uma circunferência de raio R e distante d unidades de seu centro (d > R) é traçada uma secante P̲A̲B̲ a essa circunferência, então PA ⋅ PB = d² − R².

Exemplo:

Seja P um ponto exterior a um círculo de centro O e raio R e tal que OP = √R3. Traça-se por P a secante PAB ao círculo. Se PA = R, então calcule AB em função de R.

Resolução:

Usando a proposição anterior, temos:

PA ⋅ PB = OP² − R2 ⇔ R ⋅ (R + x) = (R√3)² − R² ⇔ R(R + x) = 2R² ⇔ x = R

Observe que você poderia prolongar PO até encontrar a circunferência, obtendo uma segunda secante, e encontraria a mesma relação.

POTÊNCIA DE PONTO INTERIOR

Se por um ponto P interior a uma circunferência são traçadas duas cordas A̲P̲B̲ e C̲P̲D̲ nessa circunferência, então PA ⋅ PB = PC ⋅ PD.

Exemplo:

Calcule x na figura a seguir:

Resolução:

AP ⋅ BP = CP ⋅ DP ⇔ (4x − 2) ⋅ 2x = (x + 1) ⋅ 4x ⇔ 4x² − 8x = 0 ⇔ 4x(x − 2) = 0 ⇔ x = 2

Note que como 2x e 4x são medidas de segmentos de reta, então x ≠ 0.

Se por um ponto P interior a uma circunferência de raio R e distante d unidades de seu centro (d < R) é traçada uma corda A̲P̲B̲ nessa circunferência, então PA . PB = R² – d²

Exemplo:

Calcule x na figura, onde O é o centro da circunferência.

Resolução:

PA ⋅ PB = R² − d² ⇔ 8 ⋅ 3 = x² − 4² ⇔ x² = 8 ⇔ x = 2√2

EIXO RADICAL

O lugar geométrico dos pontos cujas potências em relação a dois círculos não concêntricos são iguais é uma reta perpendicular à reta que une os centros dos dois círculos e é chamado eixo radical dos círculos.

Se (e. r.) é o eixo radical dos círculos de centro O₁ e O₂, então P ∈ ( e.r. ) ⇔ Pot_(O1)P = Pot_(O2)P.

A seguir apresentamos a posição do eixo radical para as diversas posições relativas entre os círculos.

CIRCUNFERÊNCIAS EXTERIORES

CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES EXTERIORMENTE

CIRCUNFERÊNCIAS SECANTES

CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES INTERIORMENTE

CIRCUNFERÊNCIAS INTERIORES