Geometria plana: Relações métricas nos polígonos regulares

Demonstração:

No triângulo retângulo AOM da figura temos:

QUADRADO INSCRITO

O lado de um quadrado (quadrilátero regular convexo) inscrito em uma circunferência de raio R é I₄ = R√2 e o seu apótema é a₄ = ^R√2/₂.

Demonstração:

No triângulo retângulo AOM da figura temos:

Poderíamos observar também que o triângulo da figura é um triângulo retângulo isósceles e, portanto, a₄ = ^l₄/₂.

HEXÁGONO REGULAR CONVEXO INSCRITO

O lado de um hexágono regular convexo inscrito em uma circunferência de raio R é I₆ = R e o seu apótema é a₆ = ^a√3/₂.

Demonstração:

O hexágono regular pode ser dividido em seis triângulos equiláteros. Dessa forma, o lado de cada triângulo equilátero é I₆ = R e o apótema é igual à altura desse triângulo a₆ = ^R√3/₂.

TRIÂNGULO EQUILÁTERO CIRCUNSCRITO

QUADRADO CIRCUNSCRITO

É fácil ver pela figura que L₄ = 2R e A₄ = R.

HEXÁGONO REGULAR CIRCUNSCRITO

OCTÓGONO REGULAR CONVEXO

Demonstração:

Vamos utilizar a fórmula de duplicação de gênero desenvolvida anteriormente:

Assim, temos:

Utilizando agora a expressão para o cálculo do apótema:

DECÁGONO REGULAR CONVEXO 

O lado de um decágono regular convexo inscrito em uma circunferência de raio:

Demonstração:

PENTÁGONO REGULAR CONVEXO

O lado de um pentágono regular convexo inscrito em uma circunferência de raio:

Demonstração:

Na figura da demonstração do lado do decágono regular, vamos aplicar a lei dos cossenos ao ∆OAB. Assim, temos:

Voltando à figura do pentágono, consideremos o triângulo retângulo OAM. Assim, temos:

Aplicando o teorema de Pitágoras a esse triângulo, temos:

DODECÁGONO REGULAR CONVEXO

O lado do dodecágono regular convexo inscrito em uma circunferência de raio:

Demonstração:

Vamos utilizar a fórmula de duplicação de gênero desenvolvida anteriormente:

Utilizando agora a expressão para o cálculo do apótema:

OUTRAS PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS IMPORTANTES

RETA DE SIMSON-WALLACE

Se perpendiculares são traçadas a partir de um ponto sobre o circuncírculo de um triângulo a seus lados, suas interseções com os lados do triângulo são colineares e pertencem à Reta de Simson-Wallace. (A recíproca também é verdadeira.)

RETA DE EULER

Num triângulo ABC, o ortocentro (H), o baricentro (G) e o circuncentro (O) são colineares.

Além disso uma consequência importante é que a razão AH : OF é igual a 2 : 1 também. E além disso o baricentro (G) divide o segmento HO na razão 2 : 1.

CÍRCULO DE NOVE PONTOS

Num triângulo ABC, sejam M, N e P os pontos médios dos lados BC, AC e AB. Sejam H1, H2 e H3 os pés das alturas de A, B e C, e seja H ortocentro de ABC. Sejam ainda A’, B’ e C’ pontos médios dos segmentos AH, BH e CH. Tem-se então que os pontos M, N, P, H1, H2, H3, A’,B’ e C’ são concíclicos, ou seja, existe uma circunferência passando por todos esses pontos. O centro dessa circunferência é o ponto médio do segmento OH, que liga o circuncentro O ao ortocentro H do triângulo ABC.

TEOREMA DE CARNOT

Sobre os lados BC, AC e AB de um triângulo ABC, tomam-se os pontos D, E e F, respectivamente. Tem-se que as perpendiculares em D, E, F aos lados aos quais eles pertencem são concorrentes se, e somente se,