Noções de Conjuntos: Princípio da inclusão e exclusão

Para dois conjuntos:

n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)

Para três conjuntos:

n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(A∩C)-n(B∩C)+n(A∩B∩C)

Para n conjuntos:

nA1∪A2∪…∪Ai=∑inAi-∑i<jnAi∩Aj++∑i<j<knAi∩Aj∩Ak-…+(-1)n+1nA1∩A2∩…∩Ai

Exemplo:

A={3,4,5,6,7} e B={6,7,8,9}⇒n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)=5+4-2=7

Observe que o conjunto A∪B={3,4,5,6,7,8,9} tem 7 elementos.

PRODUTO CARTESIANO

Dados A e B dois conjuntos não vazios, o produto cartesiano de A por B (nota-se por A×B) é o conjunto formado por todos os pares ordenados (x, y) em que x é elemento de A e y é elemento de B, ou seja, A×B={(x,y)/x∈A e y∈B}.

Exemplo:

A={2,3,4} e B={1,2}
A×B={(2,1),(3,1),(4,1),(2,2),(3,2),(4,2)} e 
B×A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)}

Propriedades:

Considere A, B e C conjuntos quaisquer, logo:

• A×B≠B×A.

Atenção: Se A×B=B×A então A=B.

• A×∅=∅.
• ∅×A=∅.
• ∅×∅=∅.
• n(A×B)=n(A)·n(B) em que n(A) representa o número de elementos do conjunto A.
• A×A=A².
• A×(B∪C)=(A × B)∪(A×C).
• A×(B∩C)=(A × B)∩(A×C). 
• A x (B – C) = (A x B) – (A x C).