Trigonometria no triângulo (retângulo e qualquer)

(Figura indisponível nesta versão da aula.)

Se conhecermos a medida dos lados do ∆ABC e de um dos lados do ΔA’B’C’, então é possível calcular seus outros dois lados.

Observe que todos esses dois triângulos possuem a mesma “forma”, diferindo apenas pelo “tamanho”.

Para qualquer triângulo retângulo semelhante ao ∆ABC, é sempre possível, conhecendo-se um dos lados, calcular os outros dois.

A ideia da definição das linhas trigonométricas no triângulo retângulo é identificar características do ∆ABC que permitam calcular os lados dos triângulos retângulos semelhantes a ele sem precisar de um “triângulo matriz”. Para isso vamos lançar mão de uma característica que todos esses triângulos semelhantes têm em comum. Eles possuem os mesmos ângulos.

Assim, para todos os triângulos retângulos semelhantes ao ∆ABC, a razão entre o cateto oposto ao ângulo B^ e a hipotenusa é a mesma. A essa razão damos o nome de seno de B^{^}. Da mesma forma, a razão entre o cateto adjacente ao ângulo B^{^} e a hipotenusa é constante. A essa razão damos o nome de cosseno de B^. A razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente ao ângulo B^{^} é chamada de tangente de B^{^}.

Seja o triângulo ABC retângulo em A, conforme a figura a seguir: 

Definem-se, para o ângulo agudo B^{^}.

(Figura indisponível nesta versão da aula.)

LEI DOS SENOS

Seja um triângulo ABC de lados BC¯=a, AC¯=be AB¯=c e raio do círculo circunscrito R, então

(Figura indisponível nesta versão da aula.)

Demonstração:

(Figura indisponível nesta versão da aula.)

Adotando procedimento análogo para os outros vértices, temos 

(Figura indisponível nesta versão da aula.)

LEI DOS COSSENOS

Seja um triângulo ABC de lados BC¯=a, BC¯=a e AC¯=b, então

(Figura indisponível nesta versão da aula.)

Demonstração:

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABD, temos: m² + h² =c².

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo BCD, temos: (b – m)² + h² = a².

(Figura indisponível nesta versão da aula.)

No triângulo retângulo ABD, temos: cosA= ^m/_c ⇔ m = c · cosA.

⇒ b² – 2bm + c² = a² ⇔ a² = b² + c² – 2bccosA (C.Q.D.)