O seno e o cosseno de um mesmo ângulo θ são coordenadas de um ponto que dista 1 unidade da origem do sistema de eixos.
Se P é a imagem do ângulo θ ∈ ℝ no ciclo trigonométrico, então P=(cosθ, senθ). Assim, temos d(P,O)=1 ⇔ √(cosθ – 0)²+(senθ – 0)² = 1 ⇔ sen²θ + cos²θ=1.
Essa é a chamada relação fundamental da trigonometria.
sen²θ + cos²θ = 1
Dividindo a relação acima por cos²θ, obtemos:
1 + tg²θ = sec²θ
Dividindo a relação acima por sen²θ, obtemos:
1 + tg²θ = sec²θ
Dividindo a relação acima por sen²θ, obtemos:
1 + cotg²θ = cossec²θ
Exemplo:
Sabendo que θ ∈ [π, 3π/2] e que senθ = 1/3, calcule cosθ.
Resolução:
sen²θ + cos²θ =1 ⇒ (1/3)² + cos²θ = 1 ⇔ cos²θ = 1 – 1/9 = 8/9
Como θ ∈ [π, 3π/2], então cosθ<0. Assim, temos: cosθ=-2√2/3.
Conteúdo publicado originalmente no ProMilitares, que agora faz parte do EuMilitar.