Determinantes

COFATOR
Seja uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2 e aij um elemento qualquer de A. O cofator do elemento aij é o número de nido por Aij = (-1)i+j·Mij onde Mij é o menor complementar de aij.

Calculando os cofatores a partir dos menores obtidos no exemplo anterior:

PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES

Usando o teorema de Laplace para o cálculo do determinante conseguimos provar várias propriedades importantes que nos permitem calcular alguns determinantes específicos de uma maneira muita mais rápida e elegante. Vamos a elas:

• Propriedade 1: o determinante da matriz identidade vale 1;
• Propriedade 2: para toda matriz quadrada A temos que det(A) = det(AT );

• Propriedade 3: seja B a matriz obtida a partir da matriz A pela troca de duas las (linhas ou colunas) paralelas. Desta
forma, temos det(B) = -det(A);
• Propriedade 4: toda matriz que possui duas las paralelas iguais ou proporcionais tem determinante nulo;
• Propriedade 5: toda matriz que possui uma la com todos os seus elementos nulos tem determinante nulo;
• Propriedade 6: seja B uma matriz obtida a partir de uma matriz A de modo que a i-ésima la de B é igual a i-ésima la de A multiplicada por uma constante k, então temos det(B) = k·det(A);
• Propriedade 7: seja A uma matriz de ordem n e k um número real, então det(k·A) = kn ·det(A);

Propriedade 9: (Teorema de Jacobi) Adicionando-se a uma la uma combinação linear de outras las paralelas, o
determinante não se altera;
• Propriedade 10: para toda matriz triangular (superior ou inferior) tem determinante igual ao produto dos elementos
da diagonal.

REGRA DE CHIÓ

Este algoritmo serve, assim como o teorema de Laplace, para baixar a ordem do determinante. Importante saber é que só podemos aplicar a regra de Chió se existir algum elemento igual a 1.

ALGORITMO

1. Seja um determinante de ordem n onde aij = 1, suprimem-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna;
2. De cada elemento restante apq do determinante subtraímos apj·aiq;
3. O novo determinante tem ordem n-1 e quando multiplicado por (-1)i+j torna-se igual ao determinante original.

MATRIZ DE VANDERMONDE

Chamamos de matriz de Vandermonde a uma matriz da forma,

MATRIZ INVERSA
Dizemos que uma matriz A quadrada de ordem n é inversível se existe uma matriz B também de ordem n tal que AB = BA = I. Neste caso, dizemos que B é a matriz inversa de A e denotamos B = A-1.

PROPRIEDADES

Todas as matrizes aqui citadas serão quadradas de ordem n e inversíveis.

CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA

Veremos agora o método do cálculo da matriz inversa através da matriz chamada adjunta. No próximo módulo, de sistemas lineares, veremos como calcular a matriz inversa resolvendo sistemas lineares.
Dada uma matriz quadrada A, definimos a matriz adjunta de A como adj(A) = (cofA)t

, ou seja, a matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores.

Assim, temos o seguinte resultado: