Proporcionalidade de segmentos

O retângulo áureo é um retângulo no qual a razão entre o maior e o menor lado é igual à razão áurea.
Seja um retângulo áureo cujo maior lado possui medida a e o menor lado possui medida b, tais que = φ a b . Se colocarmos esse retângulo adjacente a um quadrado cujo lado mede a, obteremos um retângulo áureo semelhante com lado maior de medida a + b e lado menor de medida a.

TEOREMA DAS BISSETRIZES

TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA

A bissetriz interna de um dos ângulos de um triângulo divide o lado oposto internamente em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.

Seja AD a bissetriz interna do ângulo Aˆ de um triângulo ABC, então = BD DC AB AC

TEOREMA DA BISSETRIZ EXTERNA

A bissetriz externa de um dos ângulos de um triângulo divide o lado oposto, externamente, em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.

Seja AE a bissetriz interna do ângulo Aˆ de um triângulo ABC, então = BE CE  AB AC.

DIVISÃO HARMÔNICA PELOS
PÉS DAS BISSETRIZES

As bissetrizes interna e externa que partem de um mesmo vértice de um triângulo dividem o lado oposto, harmonicamente, na razão dos lados adjacentes ao vértice.

Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, seus ângulos forem respectivamente congruentes.
Dois triângulos de lados respectivamente paralelos são semelhantes. Se dois triângulos são semelhantes, então a razão entre duas linhas homólogas é igual à razão de semelhança.

CASOS DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

1° caso (A.A.): se dois triângulos possuem dois ângulos respectivamente congruentes, então são semelhantes.

3° caso (Lp Lp Lp ): se dois triângulos possuem os três lados respectivamente proporcionais, então são semelhantes.